第11章 散射：从探测手段到理论框架

"散射实验是量子力学最重要的探测手段。从卢瑟福发现原子核到LHC发现希格斯玻色子，我们靠的都是：发射一个粒子，看它怎么偏转。"

散射理论把势场的形状转化为可观测的角度分布。

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第11章 散射：从势场到截面

11.0 散射问题的经典图像：碰撞参数与截面

11.0.1 经典散射的基本图像

在讨论量子散射之前，让我们先建立经典力学的直觉——因为许多概念（碰撞参数、散射截面、分波）在经典和量子框架中有深刻的对应。

想象一个粒子以速度 $v$ 沿直线射向一个固定的散射中心（比如一个硬球）。如果瞄准线正好通过球心，粒子会被"反弹"回来（散射角 $\theta = \pi$）。如果瞄准线偏离球心一段距离 $b$（称为碰撞参数，impact parameter），粒子会以某个较小的角度偏转。

碰撞参数 $b$ 是入射粒子初速度方向与散射中心之间的垂直距离。它完全决定了经典力学中的散射角 $\theta$。

graph TD
    subgraph 经典散射图像
        A["入射粒子 v→"] -->|"碰撞参数 b"| B[散射中心]
        B -->|"散射角 θ"| C[出射粒子]
        D["b=0"] -->|对心碰撞| E["θ=π"]
        F["b→∞"] -->|掠过| G["θ=0"]
    end
    
    style E fill:#ffebee
    style G fill:#e8f5e9

11.0.2 经典微分截面的定义

在实验中，我们无法控制单个粒子的碰撞参数——我们发射的是一束粒子，它们具有各种碰撞参数的分布。因此，我们需要统计描述。

微分截面 $d\sigma/d\Omega$ 的物理意义：

\frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega = \frac{\text{散射到立体角 } d\Omega \text{ 内的粒子数}}{\text{单位面积入射粒子数}}

在经典力学中，如果碰撞参数在 $[b, b+db]$ 范围内的粒子被散射到角度 $[\theta, \theta+d\theta]$ 范围内，则：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right|$

硬球散射的经典推导：

考虑半径为 $a$ 的不可穿透刚性球。碰撞参数 $b < a$ 的粒子会被散射，$b > a$ 的粒子自由穿过。

对于弹性碰撞，入射角等于反射角。设入射方向与法线的夹角为 $\alpha$，则 $b = a\sin\alpha$。散射角为 $\theta = \pi - 2\alpha$，所以 $\alpha = (\pi - \theta)/2$。

因此：

$b = a\sin\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right) = a\cos\frac{\theta}{2}$

求导：

$\frac{db}{d\theta} = -\frac{a}{2}\sin\frac{\theta}{2}$

微分截面：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right| = \frac{a\cos(\theta/2)}{\sin\theta} \cdot \frac{a}{2}\sin\frac{\theta}{2} = \frac{a^2}{4}$

惊人的结果：经典硬球散射的微分截面是各向同性的！与角度无关。

总截面：

$\sigma_{tot} = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega = \frac{a^2}{4} \cdot 4\pi = \pi a^2$

这与几何直觉完全一致——总截面就是硬球的横截面积。

11.0.3 Rutherford散射的经典推导

卢瑟福用经典力学推导了带电粒子在库仑场中的散射公式。考虑一个电荷为 $q_1$、质量为 $m$ 的粒子入射到固定电荷 $q_2$ 上。

通过分析双曲线轨道（库仑势下的开普勒问题），可以得到碰撞参数与散射角的关系：

$b = \frac{q_1q_2}{8\pi\varepsilon_0 E}\cot\frac{\theta}{2}$

其中 $E = \frac{1}{2}mv^2$ 是入射粒子的动能。

对 $\theta$ 求导并代入截面公式，得到著名的Rutherford公式：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{q_1q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$

历史意义：1911年，卢瑟福用α粒子轰击金箔，发现大部分α粒子直接穿过，但极少数被大角度反弹。他用这个公式拟合实验数据，证明了原子内部大部分是空的，正电荷集中在一个极小的核上——这就是原子核的发现。

graph TD
    A["α粒子入射"] --> B[金箔原子]
    B -->|大部分穿过| C[原子内部是空的]
    B -->|极少数反弹| D[原子核很小且重]
    D --> E["卢瑟福模型:
核式原子结构"]
    
    style C fill:#e3f2fd
    style E fill:#e8f5e9

11.0.4 从经典到量子：为什么需要量子散射理论？

经典散射理论在描述宏观粒子碰撞时非常成功，但在微观世界面临根本性困难：

1. 粒子没有确定轨迹：在量子力学中，粒子以概率波的形式存在，"碰撞参数"不再是一个明确定义的概念。

2. 波动性质：粒子的德布罗意波长 $\lambda = h/p$ 与势场尺度可比拟时，衍射和干涉效应变得重要。例如，低能电子被原子散射时会出现"衍射环"。

3. 量子隧穿：即使粒子的动能小于势垒高度，它也有一定概率穿透势垒——这在经典力学中是不可能的。

4. 束缚态与共振：量子力学中势阱可以支持离散的束缚态，这些束缚态在散射实验中表现为共振峰——经典力学中没有对应物。

量子散射理论用波函数替代了经典轨迹，用散射振幅 $f(\theta)$ 替代了碰撞参数 $b(\theta)$，用截面保持了与实验测量的直接联系。

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11.1 故事：量子侦察兵的探测任务

25世纪，"量子侦察兵团"负责探测不可直接观测的区域。他们的方法不是"看"，而是发射粒子，分析散射图案。

侦察兵队长阿雅面对一片未知区域："前方有一个不可见的势场。我们不知道它的形状、大小、强度。但我们可以发射一束电子，观察它们偏转的角度分布。"

"如果势场很弱，大部分电子几乎直行，只有少数轻微偏转——这时候用Born近似，把散射当作微扰处理。"

"如果势场很强，电子会被强烈偏转，甚至形成驻波——这时候用部分波分析，把入射波按角动量分解，逐道分析。"

"就像声波遇到障碍物：低频声波（长波长）绕过障碍，高频声波（短波长）被精确反射。散射粒子也是如此——波长相对于势场尺度的比值，决定了用什么方法。"

阿雅调出历史档案："你知道吗？一百多年前，卢瑟福就是用散射实验发现了原子核。他发射α粒子射向金箔，发现大部分直接穿过，但极少数被反弹回来——这说明原子内部大部分是空的，正电荷集中在一个极小的核里。"

实习生问："那量子力学给散射理论带来了什么新东西？"

"经典散射只能计算确定轨迹的偏转角。但量子力学告诉我们，粒子没有确定轨迹——它以概率波的形式入射，以概率幅的形式出射到各个方向。散射振幅 $f(\theta)$ 就是连接势场结构与角度分布的桥梁。"

核心洞察：散射实验是量子力学的"X光"——通过分析出射粒子的角度分布，反推不可见的势场结构。

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11.2 散射的基本概念

11.2.1 实验设置与物理图像

典型的散射实验设置如下：

1. 入射束：沿 $z$ 方向传播的平面波，$\psi_{inc} = Ae^{ikz}$
2. 散射中心：势场 $V(r)$（局限在原点附近，$V(r) \to 0$ 当 $r \to \infty$）
3. 探测器：距离很远，测量不同角度 $(\theta, \phi)$ 的出射粒子数

物理图像：入射粒子以平面波的形式"涌向"散射中心。大部分粒子几乎不受影响地穿过（透射），少部分被偏转到各个方向。探测器在远处"数"各个方向上出现了多少粒子。

graph TD
    A[入射平面波] -->|"V(r)"| B[散射中心]
    B -->|出射球面波| C[探测器]
    C -->|不同角度| D["微分截面
dσ/dΩ"]
    D -->|全空间积分| E["总截面 σ_tot"]
    
    style D fill:#e8f5e9
    style E fill:#fff3e0

11.2.2 微分截面

定义微分截面：

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\text{单位时间内散射到立体角 } d\Omega \text{ 的粒子数}}{\text{入射流强} \times d\Omega}

物理意义：$d\sigma/d\Omega$ 描述势场"把粒子偏转到某方向的效率"。单位是面积（通常是 barn = $10^{-28}$ m²）。

总截面：

$\sigma_{tot} = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega$

总截面描述"粒子被散射的总概率"，与散射到哪个方向无关。

经典vs量子硬球散射的比较：

在经典力学中，我们推导出硬球散射的微分截面是各向同性的：

$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\text{classical}} = \frac{a^2}{4}$

总截面为 $\sigma = \pi a^2$。

在量子力学中，低能极限（$ka \ll 1$，即波长 $\lambda \gg a$）下，只有s波（$l=0$）有贡献。相移 $\delta_0 = -ka$，散射振幅 $f(\theta) \approx -a$，所以：

$\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\text{quantum}} = |f|^2 \approx a^2$

总截面 $\sigma = 4\pi a^2$——这是经典截面的4倍！

这个因子4是量子干涉的结果：在低能极限，粒子的波动性质使得它"感知"到的有效截面比几何截面大得多。

数值例题：中子被原子核散射

问题：一个热中子（动能 $E = 0.025$ eV，对应室温）被半径约为 $a = 5$ fm（$5 \times 10^{-15}$ m）的原子核散射。计算 $ka$ 的值，判断是低能还是高能散射，并估算总截面。

解：

• 中子质量 $m_n = 1.675 \times 10^{-27}$ kg
• $k = \sqrt{2m_nE}/\hbar$

$k = \frac{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 0.025 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.055 \times 10^{-34}}$

$= \frac{\sqrt{1.34 \times 10^{-47}}}{1.055 \times 10^{-34}} = \frac{3.66 \times 10^{-24}}{1.055 \times 10^{-34}} \approx 3.47 \times 10^{10} \text{ m}^{-1}$

$ka = 3.47 \times 10^{10} \times 5 \times 10^{-15} = 1.74 \times 10^{-4} \ll 1$

这是极低能散射，s波主导。

总截面（s波极限，硬球模型）：

$\sigma \approx 4\pi a^2 = 4\pi \times (5 \times 10^{-15})^2 = 4\pi \times 25 \times 10^{-30} \approx 3.14 \times 10^{-28} \text{ m}^2 = 31.4 \text{ barn}$

（实际上，由于核力的复杂性，真实截面与此模型有差异，但数量级是正确的。）

11.2.3 散射振幅

在远离散射中心的地方（$r \to \infty$），势场 $V(r) \to 0$，薛定谔方程变为自由粒子方程。一般解可以写成入射平面波加出射球面波：

\psi(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} A\left[e^{ikz} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}\right]

其中：

• $e^{ikz}$ 是入射平面波（沿 $z$ 方向传播，振幅归一化为1）
• $f(\theta, \phi)\frac{e^{ikr}}{r}$ 是散射波（球面波，振幅随 $1/r$ 衰减，保证概率流守恒）
• $f(\theta, \phi)$ 是散射振幅（Scattering Amplitude），编码了所有散射信息

概率流密度的计算：

概率流密度 $\vec{J} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*)$。

对于入射平面波 $\psi_{inc} = e^{ikz}$：

$J_{inc} = \frac{\hbar k}{m} = v$

对于散射波 $\psi_{scatt} = f(\theta)e^{ikr}/r$：

$J_{scatt} = \frac{\hbar k}{m}\frac{|f(\theta)|^2}{r^2} = v\frac{|f(\theta)|^2}{r^2}$

（注意：散射波的概率流主要沿径向向外。）

微分截面与散射振幅的关系：

散射到立体角 $d\Omega$ 的粒子数/时间 = $J_{scatt} \cdot r^2 d\Omega = v|f(\theta)|^2 d\Omega$

入射流强 = $v$（单位面积的粒子数/时间）

所以：

\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, \phi)|^2}

关键：散射问题的核心就是求解 $f(\theta, \phi)$。一旦知道了散射振幅，就得到了完整的散射信息。

graph LR
    A["散射振幅 f(θ,φ)"] -->|模平方| B["微分截面 dσ/dΩ=|f|²"]
    B -->|全空间积分| C["总截面 σ_tot"]
    
    style A fill:#e3f2fd
    style B fill:#e8f5e9

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11.3 部分波分析

11.3.1 入射波的分解

对于中心势场 $V(r)$（只依赖 $r$，不依赖角度），角动量是守恒量。入射平面波可以按球谐函数展开（Rayleigh展开或partial wave expansion）：

$e^{ikz} = \sum_{l=0}^{\infty} i^l (2l+1) j_l(kr) P_l(\cos\theta)$

其中：

• $j_l(kr)$ 是球贝塞尔函数（自由粒子的径向波函数）
• $P_l(\cos\theta)$ 是勒让德多项式（$l$ 阶，仅依赖极角 $\theta$）
• 每个 $l$ 对应一个角动量分量

物理图像：入射波包含所有角动量分量 $l = 0, 1, 2, ...$。每个分量像一个"分波"，独立地与势场相互作用。

• $l=0$：s波（无角动量，球对称）
• $l=1$：p波（角动量 $\hbar$，偶极）
• $l=2$：d波（角动量 $2\hbar$，四极）
• …以此类推

球贝塞尔函数的渐近行为（$kr \gg 1$）：

j_l(kr) \xrightarrow{r \to \infty} \frac{\sin(kr - l\pi/2)}{kr}

graph TD
    A[平面波入射] -->|分解| B["l=0 s波"]
    A -->|分解| C["l=1 p波"]
    A -->|分解| D["l=2 d波"]
    A -->|"..."| E[更高分波]
    
    style B fill:#e3f2fd
    style C fill:#fff3e0
    style D fill:#e8f5e9

11.3.2 径向方程与相移的完整推导

对于中心势场，薛定谔方程分离变量后，径向函数 $u_l(r) = rR_l(r)$ 满足：

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_l}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}\right]u_l = Eu_l$

当 $r \to \infty$，$V(r) \to 0$，方程变为自由粒子方程：

$\frac{d^2u_l}{dr^2} + k^2 u_l = 0, \quad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

一般解是平面波的线性组合：

u_l(r) \xrightarrow{r \to \infty} A_l \sin(kr - l\pi/2 + \delta_l)

其中 $\delta_l$ 是相移——它描述了有势场时，第 $l$ 个分波相对于自由传播的相位偏移。

从径向方程提取相移的方法：

1. 求解完整的径向方程（数值或解析），从 $r=0$ 出发。
2. 在 $r \to \infty$ 处，将解拟合到渐近形式 $\sin(kr - l\pi/2 + \delta_l)$。
3. 拟合得到的相位偏移就是 $\delta_l$。

自由粒子的渐近行为：

j_l(kr) \xrightarrow{r \to \infty} \frac{1}{kr}\sin\left(kr - \frac{l\pi}{2}\right)

有势场时的渐近行为：

R_l(r) = \frac{u_l(r)}{r} \xrightarrow{r \to \infty} \frac{A_l}{r}\sin\left(kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l\right)

关键：势场的全部信息都被编码在一组相移 $\{\delta_0, \delta_1, \delta_2, ...\}$ 中！

物理直觉：相移 $\delta_l$ 描述第 $l$ 个分波在穿过势场区域时，相对于自由传播"多走"或少走了多少相位。

• 吸引势（$V < 0$）：粒子被加速，有效波长缩短，相当于"多走"了相位——通常给出正相移。
• 排斥势（$V > 0$）：粒子被减速，有效波长变长，相当于"少走"了相位——通常给出负相移。

例题：球方势阱的s波相移

对于球方势阱 $V(r) = -V_0$（$r < a$，否则为0），求解s波（$l=0$）的相移。

内部（$r < a$）：

\frac{d^2u}{dr^2} + k'^2 u = 0, \quad k' = \sqrt{k^2 + \frac{2mV_0}{\hbar^2}}

解为 $u(r) = A\sin(k'r)$（在原点 $u(0) = 0$）。

外部（$r > a$）：

$\frac{d^2u}{dr^2} + k^2 u = 0$

解为 $u(r) = B\sin(kr + \delta_0)$。

在 $r = a$ 处匹配波函数和对数导数：

$A\sin(k'a) = B\sin(ka + \delta_0)$

$k'A\cos(k'a) = kB\cos(ka + \delta_0)$

两式相除：

$k'\cot(k'a) = k\cot(ka + \delta_0)$

解得：

\boxed{\delta_0 = \arctan\left(\frac{k}{k'}\tan(k'a)\right) - ka}

这个公式精确地描述了s波相移如何依赖于势阱深度 $V_0$ 和范围 $a$。

graph TD
    A["分波 l"] -->|自由传播| B["ψ_free ~ sin(kr-lπ/2)"]
    A -->|经过势场| C["ψ_scatt ~ sin(kr-lπ/2+δ_l)"]
    B -->|比较| D["相移 δ_l"]
    C --> D
    
    style D fill:#e8f5e9

11.3.3 用相移表示散射振幅和截面

总波函数可以写成部分波的叠加：

$\psi(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} C_l R_l(r) P_l(\cos\theta)$

在 $r \to \infty$ 处，利用 $R_l(r)$ 的渐近形式，并要求入射波部分与 $e^{ikz}$ 的展开一致，可以确定系数 $C_l$。

经过详细推导（比较入射波的 $e^{-ikr}$ 部分的系数），得到：

$C_l = i^l(2l+1)e^{i\delta_l}\frac{1}{k}$

然后散射振幅可以表示为：

\boxed{f(\theta) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l P_l(\cos\theta)}

微分截面：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l P_l(\cos\theta) \right|^2$

总截面（光学定理）：

\boxed{\sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^2\delta_l}

计算策略：对于给定的能量 $E = \hbar^2 k^2 / 2m$，需要计算多少个分波？

经验法则：如果势场范围约为 $a$，只有 $l \lesssim ka$ 的分波才有显著贡献。因为角动量 $L = \hbar l$ 的经典对应是 $L = p b = \hbar k b$，其中 $b$ 是碰撞参数。如果 $b > a$（碰撞参数大于势场范围），粒子不会进入势场区域，也就不被散射。所以：

$l_{max} \approx ka$

数值例题：需要计算多少个分波？

问题：一个能量为 $E = 10$ MeV 的中子被铅核（半径 $a \approx 7$ fm）散射。估算需要计算多少个分波。

解：

• 中子质量 $m_n \approx 940$ MeV/c²
• $k = \sqrt{2m_nE}/\hbar$

用自然单位 $\hbar c = 197.3$ MeV·fm：

$k = \frac{\sqrt{2 \times 940 \times 10}}{197.3} \text{ fm}^{-1} = \frac{\sqrt{18800}}{197.3} \approx \frac{137.1}{197.3} \approx 0.695 \text{ fm}^{-1}$

$ka = 0.695 \times 7 \approx 4.9$

所以需要计算约 $l_{max} \approx 5$ 个分波（$l = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）。这是一个非常可控的计算。

如果能量提高到 $E = 100$ MeV：

$ka \approx 4.9 \times \sqrt{10} \approx 15.5$

需要约16个分波，计算量仍然很小。但如果能量高达 $E = 1$ GeV：

$ka \approx 4.9 \times \sqrt{100} \approx 49$

需要约50个分波——手工计算变得繁琐，但计算机处理毫无压力。

graph TD
    A[平面波入射] -->|分解| B["l=0 s波"]
    A -->|分解| C["l=1 p波"]
    A -->|分解| D["l=2 d波"]
    B -->|获得相移| E["δ₀"]
    C -->|获得相移| F["δ₁"]
    D -->|获得相移| G["δ₂"]
    E -->|叠加| H[散射截面]
    F --> H
    G --> H
    
    style H fill:#e8f5e9

11.3.4 低能极限与散射长度

当入射粒子能量很低（$ka \ll 1$，$a$ 是势场范围）：

• 只有 $l=0$（s波）贡献。为什么？因为 $j_l(kr) \sim (kr)^l$ 当 $kr \ll 1$，所以 $l > 0$ 的分波在势场区域几乎为零，无法与势场相互作用。
• s波相移 $\delta_0 \approx -ka_s$，其中 $a_s$ 是散射长度（Scattering Length）
• 总截面：$\sigma_{tot} \approx 4\pi a_s^2$

散射长度的严格定义：

在低能极限，s波径向函数 $u_0(r)$ 在外部区域 ($r > a$) 的渐近行为为：

$u_0(r) \propto \sin(kr + \delta_0) \approx \sin(kr) + \delta_0\cos(kr) \approx k(r - a_s)$

（利用了 $\delta_0 \approx -ka_s$ 和 $kr \ll 1$ 时的展开。）

定义散射长度 $a_s$ 为外部波函数的线性外推在 $r$ 轴上的截距：

u_0(r) \xrightarrow{r \to \infty, k\to 0} C(r - a_s)

物理意义：低能粒子"看不到"势场的细节，只感受到一个等效的"硬球"，半径为散射长度。

散射长度的重要性：

• $a_s > 0$：等效排斥（硬球）
• $a_s < 0$：等效吸引
• $a_s = \pm\infty$：共振（势阱刚好能支持一个束缚态）

历史背景：散射长度的概念在冷原子物理中极其重要。在玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）实验中，原子间的相互作用完全由s波散射长度描述。通过Feshbach共振，物理学家可以调节磁场来改变散射长度，甚至让它从正变负——这意味着相互作用从排斥变为吸引。

数值例题：低能中子散射

问题：极低能中子被某种原子核散射，测得总截面为 $\sigma = 200$ barn。估算散射长度。如果截面突然增加到极大的值（比如 $\sigma > 10000$ barn），这意味着什么？

解：

$a_s = \sqrt{\frac{\sigma}{4\pi}} = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-28}}{4\pi}} = \sqrt{1.59 \times 10^{-28}} \approx 1.26 \times 10^{-14} \text{ m} = 12.6 \text{ fm}$

如果截面变得极大，意味着 $|a_s| \to \infty$——这是共振的标志。势阱深度刚好使得一个s波束缚态即将出现（或刚好消失）。这种情况在核物理和冷原子物理中都非常重要。

graph TD
    A["低能极限 ka≪1"] --> B[仅s波贡献]
    B --> C["δ₀ ≈ -ka_s"]
    C --> D["σ_tot ≈ 4πa_s²"]
    D -->|"a_s>0"| E[等效排斥]
    D -->|"a_s<0"| F[等效吸引]
    D -->|"a_s=±∞"| G["共振/幺正极限"]
    
    style G fill:#ffebee

11.3.5 共振散射与Breit-Wigner公式

当势场的某个分波刚好接近一个"准束缚态"（virtual bound state）时，相移会快速增加，截面出现尖锐的峰值——这就是共振散射。

物理图像：想象一个粒子以特定能量入射。如果势阱的某个分波（比如p波或d波）在这个能量附近几乎能形成一个束缚态（但不完全），入射粒子会被"捕获"一段时间，然后重新发射。这种"延迟发射"导致该分波的相移快速增加 $\pi$。

Breit-Wigner公式：

在共振能量 $E_R$ 附近，第 $l$ 个分波的相移可以参数化为：

$\delta_l(E) \approx \delta_l^{(0)} + \arctan\frac{\Gamma/2}{E_R - E}$

其中 $\delta_l^{(0)}$ 是缓慢变化的背景相移，$\Gamma$ 是共振宽度（粒子在准束缚态上的寿命 $\tau = \hbar/\Gamma$）。

当 $E = E_R$ 时，$\delta_l = \delta_l^{(0)} + \pi/2$（如果背景相移为零，则 $\delta_l = \pi/2$）。此时 $\sin^2\delta_l = 1$，该分波对截面的贡献达到最大。

第 $l$ 分波的截面在共振附近为：

$\sigma_l = \frac{4\pi}{k^2}(2l+1)\frac{\Gamma^2/4}{(E-E_R)^2 + \Gamma^2/4}$

这就是Breit-Wigner公式。

特征：

• 共振峰宽度为 $\Gamma$（FWHM）
• 峰高为 $\sigma_{max} = \frac{4\pi}{k^2}(2l+1)$
• 共振峰形状是洛伦兹型（Lorentzian）

数值例题：核物理中的共振散射

问题：低能中子被某原子核散射，在 $E_R = 1.15$ eV 处观测到一个尖锐的s波共振峰，峰宽 $\Gamma = 0.15$ eV。计算共振峰处的最大截面。如果中子能量偏离共振 $E - E_R = 0.5$ eV，截面是多少？

解：

• 低能中子，$ka \ll 1$，主要s波贡献。
• 共振峰处 ($E = E_R$)：

$\sigma_{max} = \frac{4\pi}{k^2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{4\pi}{k^2}$

$k = \frac{\sqrt{2m_nE_R}}{\hbar} = \frac{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.15 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.055 \times 10^{-34}}$

$= \frac{\sqrt{6.16 \times 10^{-46}}}{1.055 \times 10^{-34}} = \frac{2.48 \times 10^{-23}}{1.055 \times 10^{-34}} \approx 2.35 \times 10^{11} \text{ m}^{-1}$

$\frac{4\pi}{k^2} = \frac{4\pi}{(2.35 \times 10^{11})^2} = \frac{12.57}{5.52 \times 10^{22}} \approx 2.28 \times 10^{-22} \text{ m}^2 \approx 2.3 \times 10^6 \text{ barn}$

这是一个巨大的截面！（注意：真实实验中由于吸收等效应，观测到的共振截面通常小于这个纯s波极限。）

偏离共振 $E - E_R = 0.5$ eV：

$\sigma = \sigma_{max} \cdot \frac{\Gamma^2/4}{(E-E_R)^2 + \Gamma^2/4} = 2.3 \times 10^6 \times \frac{0.0056}{0.25 + 0.0056} \approx 2.3 \times 10^6 \times 0.022 \approx 5.1 \times 10^4 \text{ barn}$

截面迅速下降——共振峰非常尖锐。

11.3.6 Levinson定理

Levinson定理是散射理论中一个深刻的结果，它将零能极限下的相移与束缚态数目联系起来。

定理表述：对于有限力程势，当 $k \to 0$ 时：

\boxed{\delta_l(0) = n_l \pi}

其中 $n_l$ 是角动量为 $l$ 的束缚态数目。

物理解释：

• 每增加一个束缚态，零能处的相移就增加 $\pi$。
• 这反映了束缚态和散射态之间的"互补关系"：势阱越深，束缚态越多，低能相移也越大。

s波的特殊情况：对于 $l=0$，如果存在零能共振（刚好在阈值的束缚态），定理需要修正为 $\delta_0(0) = (n_0 + 1/2)\pi$。

数值例题：验证Levinson定理

问题：一个三维球方势阱 $V(r) = -V_0$ ($r < a$) 中，已知 $l=0$ 有两个束缚态（基态和第一激发态），$l=1$ 有一个束缚态。根据Levinson定理，零能极限下 $\delta_0(0)$ 和 $\delta_1(0)$ 分别是多少？

解：

• $l=0$：$n_0 = 2$，所以 $\delta_0(0) = 2\pi$
• $l=1$：$n_1 = 1$，所以 $\delta_1(0) = \pi$

在散射实验中，相移通常只确定到模 $2\pi$，所以 $\delta_0(0) = 0$（模 $2\pi$）和 $\delta_1(0) = \pi$（模 $2\pi$）也是可以接受的表述。

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11.4 Born近似

11.4.1 弱势场散射

如果势场很弱，可以把它当作微扰。入射平面波几乎不变，只在势场区域产生一个小修正。

Born近似的核心思想：把散射振幅展开为微扰级数，保留一阶项。

11.4.2 散射振幅的完整推导

薛定谔方程（能量 $E = \hbar^2 k^2 / 2m$）：

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})\right)\psi = E\psi$

可以重写成：

$\left(\nabla^2 + k^2\right)\psi = \frac{2m}{\hbar^2}V(\vec{r})\psi$

这是一个非齐次Helmholtz方程。利用格林函数法求解。

格林函数 $G(\vec{r}, \vec{r}')$ 满足：

$\left(\nabla^2 + k^2\right)G(\vec{r}, \vec{r}') = \delta^3(\vec{r} - \vec{r}')$

对于出射边界条件（物理上要求散射波向外传播），格林函数为：

$G(\vec{r}, \vec{r}') = -\frac{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Lippmann-Schwinger方程：

$\psi(\vec{r}) = \psi_0(\vec{r}) + \int G(\vec{r}, \vec{r}') \frac{2m}{\hbar^2}V(\vec{r}')\psi(\vec{r}') d^3r'$

其中 $\psi_0(\vec{r}) = e^{ikz}$ 是入射平面波（齐次方程的解）。

一阶Born近似：在积分中用 $\psi(\vec{r}') \approx \psi_0(\vec{r}') = e^{ikz'}$ 代替（即假设势场对波函数的修正很小）。

$\psi(\vec{r}) \approx e^{ikz} - \frac{m}{2\pi\hbar^2}\int \frac{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|} V(\vec{r}') e^{ikz'} d^3r'$

当 $r \to \infty$（远场探测器），$|\vec{r}-\vec{r}'| \approx r - \hat{r}\cdot\vec{r}'$，其中 $\hat{r}$ 是散射方向的单位矢量。

所以：

$\frac{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \approx \frac{e^{ikr}e^{-ik\hat{r}\cdot\vec{r}'}}{r}$

代入：

\psi(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} e^{ikz} - \frac{m}{2\pi\hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int e^{-ik\hat{r}\cdot\vec{r}'} V(\vec{r}') e^{ikz'} d^3r'

令 $\vec{k}_i = k\hat{z}$（入射波矢），$\vec{k}_f = k\hat{r}$（散射波矢），$\vec{q} = \vec{k}_i - \vec{k}_f$（动量转移）。

则：

$e^{ikz'}e^{-ik\hat{r}\cdot\vec{r}'} = e^{i(\vec{k}_i - \vec{k}_f)\cdot\vec{r}'} = e^{i\vec{q}\cdot\vec{r}'}$

与渐近形式 $\psi \to e^{ikz} + f(\theta,\phi)e^{ikr}/r$ 比较：

\boxed{f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int e^{i\vec{q} \cdot \vec{r}'} V(\vec{r}') d^3r'}

其中 $|\vec{q}| = 2k\sin(\theta/2)$。

关键：散射振幅是势场的三维傅里叶变换（带一个比例因子）！

graph LR
    A["势场 V(r)"] -->|傅里叶变换| B["散射振幅 f(θ)"]
    B -->|模平方| C["微分截面
dσ/dΩ = |f|²"]
    
    style B fill:#e8f5e9
    style C fill:#fff3e0

11.4.3 Born近似的适用条件

Born近似要求散射波 $\phi$ 远小于入射波 $\psi_0$。更精确地说，势场对波函数的修正应该在势场区域内很小。

一个常用的判据是：对于中心势场，Born近似在高能极限（$k \to \infty$）下通常有效，因为高能粒子受势场影响较小。

更定量的条件是相移很小：

|\delta_l| \ll 1 \quad \text{（对所有有贡献的分波）}

对于球方势阱 $V(r) = -V_0$ ($r < a$)，Born近似适用的条件近似为：

\frac{m|V_0|a^2}{\hbar^2} \ll 1 \quad \text{或} \quad ka \gg \frac{m|V_0|a}{\hbar^2 k}

物理直觉：

• 弱势场（$|V_0|$ 小）：势场对波函数扰动小，Born近似好。
• 高能粒子（$k$ 大，即波长短）：粒子"感觉不到"势场的细节，Born近似好。
• 低能粒子（$k$ 小，即波长长）：粒子与势场充分相互作用，Born近似通常失效，需要用分波法。

数值例题：Born近似适用性判断

问题：一个能量为 $E = 100$ eV 的电子被一个原子势 $V(r) = -V_0 e^{-r/a}$ 散射，其中 $V_0 = 10$ eV，$a = 1$ Å ($10^{-10}$ m)。判断Born近似是否适用。

解：

• 电子质量 $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ kg
• $k = \sqrt{2m_eE}/\hbar$

$k = \frac{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.055 \times 10^{-34}}$

$= \frac{\sqrt{2.92 \times 10^{-47}}}{1.055 \times 10^{-34}} = \frac{5.40 \times 10^{-24}}{1.055 \times 10^{-34}} \approx 5.12 \times 10^{10} \text{ m}^{-1}$

$ka = 5.12 \times 10^{10} \times 10^{-10} = 5.12$

无量纲参数：

$\frac{m_e V_0 a^2}{\hbar^2} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-20}}{(1.055 \times 10^{-34})^2}$

$= \frac{1.46 \times 10^{-68}}{1.11 \times 10^{-68}} \approx 1.3$

这个参数不是远小于1，说明势场不算很弱。但由于 $ka = 5.12 > 1$，粒子能量足够高，Born近似仍然可以作为定性估计使用，但定量精度可能有限。

如果能量降低到 $E = 10$ eV：

$ka = 5.12 \times \sqrt{0.1} \approx 1.62$

Born近似的可靠性进一步降低。对于 $E = 1$ eV：

$ka = 5.12 \times \sqrt{0.01} \approx 0.51 \ll 1$

此时Born近似不适用，应该使用分波法。

11.4.4 Yukawa势与库仑势

Yukawa势（屏蔽库仑势，描述核力）

$V(r) = V_0 \frac{e^{-\mu r}}{r}$

Born近似给出散射振幅：

$f(\theta) = -\frac{2mV_0}{\hbar^2} \frac{1}{\mu^2 + q^2}$

其中 $q = 2k\sin(\theta/2)$ 是动量转移的大小。

微分截面：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{2mV_0}{\hbar^2}\right)^2 \frac{1}{(\mu^2 + 4k^2\sin^2(\theta/2))^2}$

物理特征：

• 小角度（$\theta \approx 0$）：截面最大，因为动量转移小
• 大角度：截面随 $\theta$ 增大而减小
• 屏蔽参数 $\mu$ 越大，势场越短程，大角度散射越弱

数值例题：核子-核子散射的Yukawa势

问题：在低能核物理中，核子间的相互作用可以用Yukawa势近似描述，其中 $\mu = m_\pi c/\hbar \approx 0.7$ fm⁻¹（与π介子质量相关），$V_0$ 的量级约为 10-50 MeV·fm。对于一个能量为 $E = 10$ MeV 的中子被质子散射，估算Born近似下前向（$\theta = 0$）和 90° 方向的微分截面比值。

解：

• $k = \sqrt{2m_nE}/\hbar \approx \sqrt{2 \times 940 \times 10}/197.3 \approx 0.695$ fm⁻¹（与前面例题相同）
• 前向：$q = 0$，d\sigma/d\Omega|_{0°} \propto 1/\mu^4 = 1/(0.7)^4 \approx 4.16（相对单位）
• 90°：q = 2k\sin(45°) = 2 \times 0.695 \times 0.707 \approx 0.983 fm⁻¹
  $q^2 + \mu^2 = 0.983^2 + 0.7^2 = 0.966 + 0.49 = 1.456$ fm⁻²
  d\sigma/d\Omega|_{90°} \propto 1/(1.456)^2 \approx 0.471

比值：

\frac{d\sigma/d\Omega|_{0°}}{d\sigma/d\Omega|_{90°}} = \frac{4.16}{0.471} \approx 8.8

前向散射比 90° 散射强约9倍。这是短程势的典型特征——大部分散射集中在前向。

库仑势的特例：当 $\mu \to 0$（无屏蔽），得到Rutherford公式：

对于库仑势 $V(r) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}$，Born近似给出：

$f(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2}\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{q^2} = -\frac{mq_1q_2}{2\pi\varepsilon_0\hbar^2 q^2}$

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f|^2 = \left(\frac{mq_1q_2}{2\pi\varepsilon_0\hbar^2}\right)^2 \frac{1}{q^4}$

代入 $q = 2k\sin(\theta/2)$ 和 $E = \hbar^2k^2/2m$：

\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{q_1q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}}

历史意义：Rutherford用经典力学推导了这个公式（1911年），用它解释了α粒子散射实验，发现了原子核的存在。

量子力学给出的Born近似恰好重现了经典结果——这是一个巧合（库仑势的特殊性质），但也是理论自洽性的验证。

数值例题：卢瑟福散射实验的数值估算

问题：1911年卢瑟福实验中，能量为 $E = 5$ MeV 的α粒子（$q_\alpha = 2e$）被金核（$q_{Au} = 79e$）散射。计算在散射角 \theta = 90° 处的微分截面。金核半径约为 $a = 7$ fm——在Born近似下，这个散射是否可以当作无屏蔽的库仑散射处理？

解：

• $q_1q_2 = 2 \times 79 \times e^2 = 158 \times (1.6 \times 10^{-19})^2 / (4\pi \times 8.85 \times 10^{-12})$
  $= 158 \times 2.56 \times 10^{-38} / (1.11 \times 10^{-10}) = 3.64 \times 10^{-26}$ C²/(C²/(N·m²))…

让我用更方便的单位：

\frac{q_1q_2}{16\pi\varepsilon_0 E} = \frac{158 \times (1.44 \text{ MeV·fm})}{4 \times 5 \text{ MeV}} = \frac{227.5}{20} = 11.4 \text{ fm}

（这里用了 $e^2/(4\pi\varepsilon_0) = 1.44$ MeV·fm）

在 \theta = 90°，\sin(\theta/2) = \sin(45°) = 0.707：

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{11.4}{0.707^2}\right)^2 = \left(\frac{11.4}{0.5}\right)^2 = (22.8)^2 \approx 520 \text{ fm}^2/\text{sr} = 5.2 \text{ barn/sr}$

屏蔽效应的估算：

对于金原子，电子云的屏蔽长度约为玻尔半径 $a_0 = 0.529$ Å $= 52900$ fm。

如果 $\mu \sim 1/a_0 \approx 1.9 \times 10^{-5}$ fm⁻¹，而 $q = 2k\sin(\theta/2)$：

$k = \frac{\sqrt{2 \times 4 \times 940 \times 5}}{197.3} \approx \frac{\sqrt{37600}}{197.3} \approx \frac{194}{197.3} \approx 0.98 \text{ fm}^{-1}$

（α粒子质量约为4倍核子质量）

$q = 2 \times 0.98 \times 0.707 \approx 1.39 \text{ fm}^{-1}$

$q \gg \mu$（$1.39 \gg 1.9 \times 10^{-5}$），所以在这个角度屏蔽效应完全可忽略——库仑势可以当作无屏蔽处理。

但如果在极小角度（比如 \theta = 1°）：

q = 2 \times 0.98 \times \sin(0.5°) \approx 1.96 \times 0.0087 \approx 0.017 \text{ fm}^{-1}

此时 $q$ 与原子电子云的屏蔽参数可比，屏蔽效应开始变得重要。

graph TD
    A[Yukawa势] -->|"μ→0 极限"| B[库仑势]
    A -->|Born近似| C["f(θ) ∝ 1/(μ²+q²)"]
    B -->|Born近似| D[Rutherford公式]
    C --> E["屏蔽势:
大θ散射弱"]
    D --> F["无屏蔽:
小θ发散"]
    
    style D fill:#e8f5e9

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11.5 光学定理

11.5.1 概率守恒与吸收的完整推导

从概率守恒（薛定谔方程保证）可以推导出一个深刻的关系。

考虑渐近波函数：

\psi(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}

概率流密度 $\vec{J} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*)$。

入射流的计算：
对于 $\psi_{inc} = e^{ikz}$：

$J_{inc} = \frac{\hbar k}{m} = v$

散射流的计算：
对于 $\psi_{scatt} = f(\theta)e^{ikr}/r$：

\nabla\psi_{scatt} \approx \frac{ik\hat{r}f(\theta)e^{ikr}}{r}$$（远场主导项） 径向散射流密度： $$J_{scatt,r} = \frac{\hbar k}{m}\frac{|f(\theta)|^2}{r^2} = v\frac{|f(\theta)|^2}{r^2}

总散射流（通过半径为 $r$ 的大球面）：

$\oint J_{scatt,r} r^2 d\Omega = v\int |f(\theta)|^2 d\Omega = v\sigma_{tot}$

入射流与透射流的干涉：

在前进方向（$\theta = 0$），入射平面波与散射波相干叠加。计算前向净流密度：

$\psi = e^{ikz} + f(0)\frac{e^{ikr}}{r}$

$J_z = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial z} - \psi\frac{\partial\psi^*}{\partial z}\right)$

在 $z$ 轴上（$r = z$，$\theta = 0$）：

$\psi = e^{ikz} + f(0)\frac{e^{ikz}}{z} = e^{ikz}\left(1 + \frac{f(0)}{z}\right)$

$\frac{\partial\psi}{\partial z} = ik e^{ikz}\left(1 + \frac{f(0)}{z}\right) - \frac{f(0)}{z^2}e^{ikz}$

$\approx ik\psi - \frac{f(0)}{z^2}e^{ikz}$

计算 $\psi^*\partial_z\psi - \psi\partial_z\psi^*$：

$\psi^*\partial_z\psi = e^{-ikz}\left(1 + \frac{f^*(0)}{z}\right)\left[ik e^{ikz}\left(1 + \frac{f(0)}{z}\right) - \frac{f(0)}{z^2}e^{ikz}\right]$

展开并保留到 $1/z$ 阶：

$\approx ik\left(1 + \frac{f(0)}{z}\right)\left(1 + \frac{f^*(0)}{z}\right) - \frac{f(0)}{z^2}$

$\approx ik\left(1 + \frac{f(0)+f^*(0)}{z}\right) = ik\left(1 + \frac{2\text{Re}[f(0)]}{z}\right)$

类似地：

$\psi\partial_z\psi^* \approx -ik\left(1 + \frac{2\text{Re}[f(0)]}{z}\right)$

所以：

$J_z \approx \frac{\hbar k}{m}\left(1 + \frac{2\text{Re}[f(0)]}{z}\right) = v\left(1 + \frac{2\text{Re}[f(0)]}{z}\right)$

关键的干涉项：实际上，更仔细的计算（考虑入射波和散射波的交叉项）给出前向流密度的减少量为：

$\Delta J = -v\frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)]\frac{1}{r^2}$

（注意这里需要更严格的推导，Griffiths在教材中有详细过程。）

总概率守恒：

入射流减去透射流（前向净减少）必须等于总散射流：

$v\sigma_{tot} = v\frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)]$

因此：

\boxed{\sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \text{Im}[f(0)]}

这就是光学定理（Optical Theorem）。

物理意义：你"丢失"的入射粒子（被散射到各个方向）的数量，恰好等于前向方向上波的"缺失"量。总概率守恒要求：如果你在各个方向都看到了散射波，那前向方向上必然有一个对应的"影子"——入射波和散射波的干涉导致前向净振幅减小。

graph TD
    A[入射平面波] -->|向前| B["探测器
θ=0方向"]
    C[散射波] -->|各方向| D[总散射概率]
    D -->|光学定理| E["σ_tot = 4π/k · Im[f(0)]"]
    E -->|意味着| F["前向散射必有
吸收/干涉效应"]
    
    style E fill:#e8f5e9
    style F fill:#fff3e0

11.5.2 光学定理与部分波分析

用部分波展开验证光学定理：

$f(0) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l P_l(1)$

由于 $P_l(1) = 1$，所以：

$f(0) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) e^{i\delta_l} \sin\delta_l$

取虚部：

$\text{Im}[f(0)] = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \text{Im}[e^{i\delta_l}\sin\delta_l]$

$= \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^2\delta_l$

乘以 $4\pi/k$：

$\frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)] = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^2\delta_l = \sigma_{tot}$

这正是光学定理！部分波分析完美地满足了这个普遍关系。

数值例题：光学定理的数值验证

问题：假设一个散射过程中，只有s波（$l=0$）和p波（$l=1$）有贡献，相移分别为 $\delta_0 = 0.5$ rad 和 $\delta_1 = 0.3$ rad，$k = 1.0$ fm⁻¹。分别用部分波公式和光学定理计算总截面，验证两者一致。

解：

方法1：部分波公式

$\sigma = \frac{4\pi}{k^2}\left[1\cdot\sin^2(0.5) + 3\cdot\sin^2(0.3)\right]$

$= \frac{4\pi}{1}\left[0.229 + 3 \times 0.0885\right]$

$= 4\pi \times [0.229 + 0.266] = 4\pi \times 0.495 \approx 6.22 \text{ fm}^2 \approx 62.2 \text{ barn}$

方法2：光学定理

$f(0) = \frac{1}{k}\left[1 \cdot e^{i0.5}\sin(0.5) + 3 \cdot e^{i0.3}\sin(0.3)\right]$

$= e^{i0.5}(0.479) + 3e^{i0.3}(0.296)$

$= (0.420 + 0.230i) + 3(0.282 + 0.087i)$

$= (0.420 + 0.846) + i(0.230 + 0.261)$

$= 1.266 + 0.491i$

$\text{Im}[f(0)] = 0.491 \text{ fm}$

$\sigma = \frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)] = 4\pi \times 0.491 \approx 6.17 \text{ fm}^2$

（两种方法的微小差异来自舍入误差，理论上是严格相等的。）

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11.6 本章总结

graph TD
    A[第11章核心] --> B[散射实验]
    A --> C[部分波分析]
    A --> D[Born近似]
    A --> E[光学定理]
    A --> F[共振与Levinson定理]
    
    B -->|探测手段| G["角度分布 → 势场结构"]
    C -->|"强场/低能"| H["相移 δ_l
分波叠加"]
    D -->|"弱场/高能"| I["散射振幅 = V的傅里叶变换"]
    E -->|守恒律| J["σ_tot ∝ Im[f(0)]"]
    F -->|共振峰| K["Breit-Wigner公式"]
    F -->|零能极限| L["δ_l(0) = n_lπ"]
    
    G --> M["卢瑟福实验
核结构探测"]
    H --> N["低能极限
散射长度"]
    I --> O["电子衍射
晶体结构"]
    J --> P["吸收截面
前向干涉"]
    K --> Q["核物理共振
冷原子Feshbach"]
    L --> R["束缚态数目
与散射的联系"]
    
    style M fill:#e3f2fd
    style N fill:#e8f5e9
    style O fill:#fff3e0
    style P fill:#fce4ec
    style Q fill:#e8f5e9
    style R fill:#fff3e0

带走的三句话：

1. 散射是量子力学最重要的探测工具：通过出射粒子的角度分布，反推不可见的势场结构。
2. 部分波分析适用于强场/低能：势场信息编码在相移中；Born近似适用于弱场/高能：散射振幅是势场的傅里叶变换。
3. 光学定理是概率守恒的深刻体现：总散射截面与前向散射振幅的虚部成正比；Levinson定理揭示了束缚态与散射相移之间的深刻联系。

"从卢瑟福的α粒子散射到LHC的质子对撞，散射实验一直是人类窥探微观世界结构的窗口。量子力学给了我们解读这些散射图案的语言。" —— Griffiths

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11.7 练习与思考

1. 硬球散射的经典vs量子：一个半径为 $a = 2$ fm 的硬球，被能量极低的中子散射。分别计算经典总截面和量子s波总截面。量子截面是经典截面的多少倍？如果能量提高到 $ka = 1$，还需要考虑哪些分波？

2. 球方势阱s波相移的数值计算：球方势阱 $V(r) = -V_0$ ($r < a$)，其中 $V_0 = 50$ MeV，$a = 2$ fm。入射中子能量 $E = 10$ MeV。计算 $k$、$k'$ 和s波相移 $\delta_0$（用公式 $\delta_0 = \arctan(\frac{k}{k'}\tan k'a) - ka$）。$\delta_0$ 是正的还是负的？这对应吸引势还是排斥势？

3. Born近似数值计算：用Born近似计算Yukawa势 $V(r) = V_0 e^{-\mu r}/r$ 的散射截面，其中 $V_0 = 10$ MeV·fm，$\mu = 0.7$ fm⁻¹。入射粒子能量 $E = 50$ MeV，质量 $m = 940$ MeV/c²。计算前向截面 ($\theta = 0$) 和 90° 截面。Born近似对这个系统适用吗？

4. 光学定理数值验证：假设一个散射过程中只有s波和p波贡献，$\delta_0 = 0.8$，$\delta_1 = 0.2$，$k = 2$ fm⁻¹。分别用 $\sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum(2l+1)\sin^2\delta_l$ 和 $\sigma = \frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)]$ 计算总截面，验证两者给出相同结果。

5. Levinson定理应用：某势阱的s波有两个束缚态，p波有一个束缚态，d波没有束缚态。根据Levinson定理，低能极限下 $\delta_0$、$\delta_1$、$\delta_2$ 分别趋于什么值（模 $\pi$）？如果实验测得低能相移 $\delta_0 \approx 0$（模 $\pi$），但已知势阱很深，可能意味着什么？

6. Rutherford散射的数值估算：能量为 $E = 4.5$ MeV 的α粒子被金箔散射。计算在 \theta = 30° 处的微分截面（单位：barn/sr）。如果探测器面积为 $A = 1$ cm²，距离靶 $r = 10$ cm，探测器立体角是多少？如果入射通量为 $10^6$ 个/秒，单位时间内探测器记录到多少散射粒子？

7. 共振散射的Breit-Wigner线型：某核反应在 $E_R = 2.0$ eV 处有一个s波共振，宽度 $\Gamma = 0.2$ eV。画出截面随能量的变化曲线（定性），并计算半高全宽（FWHM）。如果共振宽度缩小到 $\Gamma = 0.02$ eV，共振态的寿命是多少？