第十章辐射理论：光子的诞生

"光，原来可以被理解为一种量子化振动的集合。"
—— Paul Dirac, 1927

故事引入：灯塔与信使

2147年，人类在深空站"波塞冬"建立了一座量子通信灯塔。工程师林薇负责维护这台奇特的设备——它不发射传统电磁波，而是通过操控"谐振子阵列"来传递信息。某天深夜，灯塔突然失控，谐振腔中涌出的不是预期的信号，而是一连串离散的"能量包"。监控屏上，每个包都携带着精确的能量 $E=\hbar\omega$ ，像信使般奔向宇宙深处。林薇猛然意识到：她不是在调节一台机器，而是在与一种全新的量子实体对话——这些能量包就是光子，而谐振子的每一次振动，都是光子诞生或湮灭的瞬间。Dirac在1927年写下这一章时，或许也曾有过类似的顿悟：光，原来可以被理解为一种量子化振动的集合。

前置知识：电磁场的经典理论回顾

在Dirac将电磁场量子化之前，我们有必要回顾经典电动力学的核心框架。Maxwell方程组是19世纪物理学的巅峰成就，而Dirac的辐射理论则是20世纪对这一巅峰的量子化重构。

Maxwell方程组

经典电磁场由四个方程描述（SI单位制，真空情形）：

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

其中 $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ ， $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$ ，且 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$ 。

矢势与标势

由于 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ ，磁场可以表示为矢势的旋度：

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

代入第三个Maxwell方程：

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{A}) = -\nabla \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

这意味着 $\nabla \times (\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) = 0$ ，所以括号内的量可以表示为标势的负梯度：

$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

规范自由度与库仑规范

矢势和标势不是唯一的——存在规范自由度：

$\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \Lambda, \quad \phi' = \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t}$

其中 $\Lambda(\mathbf{r}, t)$ 是任意标量函数。这种变换不改变物理场 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 。

库仑规范（Coulomb gauge）要求：

$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$

在这种规范下，标势由泊松方程决定：

$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

在真空中（ $\rho = 0$ ），可以取 $\phi = 0$ ，矢势满足波动方程：

$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = 0$

平面波解

波动方程的平面波解为：

$\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{A}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} + \text{c.c.}$

其中 $\omega = c|\mathbf{k}| = ck$ 。

库仑规范条件 $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ 要求：

$\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_0 = 0$

这意味着矢势（以及电场）必须垂直于传播方向——电磁波是横波（transverse wave）。对于每个波矢 $\mathbf{k}$ ，只有两个独立的偏振方向，这正是光子的两个偏振自由度。

经典电磁场的能量

电磁场的能量密度为：

$u = \frac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2)$

总能量：

$U = \int d^3r \, u(\mathbf{r}, t)$

对于单色平面波，电场和磁场能量相等，总能量密度 $u = \varepsilon_0 E^2$ 。

数值例题：计算平面电磁波的能量密度

题目：一束波长 $\lambda = 500 \text{ nm}$ （可见光，绿光）的激光，电场振幅 $E_0 = 1000 \text{ V/m}$ 。计算：

(a) 磁场振幅 $B_0$
(b) 能量密度的时间平均值
© 坡印廷矢量（能流密度）的幅值
(d) 若该激光功率为1 mW，光束截面积为1 mm²，验证功率与能流密度一致

解答：

(a) 在真空中，B_0 = E_0/c = 1000/(3\times 10^8) = 3.33 \times 10^{-6} \text{ T} = 3.33 \text{ µT}

(b) 能量密度：

$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{2\mu_0} B_0^2 = \varepsilon_0 E_0^2$

（因为在平面波中电场和磁场能量相等）

$\bar{u} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times (1000)^2 = 4.43 \times 10^{-6} \text{ J/m}^3$

$S = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c E_0^2 = 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times (1000)^2 = 2.66 \times 10^3 \text{ W/m}^2$

(d) 功率 = 能流密度 × 截面积：

$P = S \times A = 2.66 \times 10^3 \times 10^{-6} = 2.66 \times 10^{-3} \text{ W} = 2.66 \text{ mW}$

与题目给出的1 mW有差异，这是因为1000 V/m的振幅对应的功率略高于1 mW。要精确得到1 mW，需要的振幅为：

$E_0 = \sqrt{\frac{P}{\varepsilon_0 c A}} = \sqrt{\frac{10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 10^{-6}}} = 614 \text{ V/m}$

这个例子展示了经典电磁场如何用连续的振幅描述。Dirac的革命在于：他将这些振幅替换为算符，让能量变成离散的量子——光子。

graph TD
    A[Maxwell方程组] --> B["矢势 A 与标势 φ"]
    B --> C["库仑规范 ∇·A=0"]
    C --> D[波动方程]
    D --> E[平面波解]
    E --> F["k·A=0 横波条件"]
    F --> G[两个偏振自由度]
    G --> H[经典场能量]
    H --> I["Dirac量子化
振幅→算符"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style G fill:#e94560,color:#fff
    style I fill:#ffd93d,color:#000

10.1 从粒子到谐振子：玻色子集合的等价描述

10.1.1 为什么要等价？

量子力学发展至1920年代中期，物理学家面临一个深刻的矛盾：光既表现出波动性（干涉、衍射），又在光电效应中表现出粒子性（爱因斯坦的光量子假说）。如果一个物理系统包含大量全同玻色子，我们该如何描述它们的状态？

传统的做法是标记每个粒子："粒子1在状态 $a$ ，粒子2在状态 $b$ ……"但对于全同粒子而言，这种标记是人为的、不自然的。Dirac的天才之处在于：他发现玻色子集合可以用一组谐振子来完全等价地描述。

10.1.2 多粒子态的对称化

对于 $N$ 个全同玻色子，系统的态必须在任意两个粒子交换下对称。设单粒子有一组完备的正交归一化基态 $\{\phi_1, \phi_2, \ldots\}$ ，则一个一般的对称 $N$ -粒子态可以写成：

$|n_1, n_2, \ldots\rangle = \frac{1}{\sqrt{n_1! n_2! \cdots}} \sum_{\text{perm}} \phi_1(\mathbf{r}_{p_1}) \cdots \phi_1(\mathbf{r}_{p_{n_1}}) \phi_2(\mathbf{r}_{p_{n_1+1}}) \cdots$

其中 $n_i$ 表示处于单粒子态 $\phi_i$ 的粒子数。总粒子数满足：

$N = \sum_i n_i$

这个态已经是对称化的，意味着交换任意两个粒子的坐标不会改变态的整体。

graph TD
    A["N个全同玻色子"] --> B["标记描述
|i₁,i₂,...,iₙ⟩"]
    A --> C["占据数描述
|n₁,n₂,...⟩"]
    B --> D["冗余: 排列等价"]
    C --> E["自然: 态自动对称"]
    D --> F["Dirac的洞见"]
    E --> F
    F --> G["等价于谐振子集合!"]

10.1.3 谐振子的产生与湮灭算符

现在引入关键的一步。考虑一个量子谐振子，其哈密顿量为：

$H = \hbar\omega \left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right)$

其中 $\hat{a}^\dagger$ 和 $\hat{a}$ 分别是产生算符和湮灭算符，满足对易关系：

$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$

谐振子的能级为 $E_n = \hbar\omega(n + \frac{1}{2})$ ，第 $n$ 个激发态可以看作 " $n$ 个量子" 的态。Dirac的关键洞见是：将每个单粒子态 $\phi_i$ 对应到一个谐振子，该谐振子的激发数就是处于 $\phi_i$ 的粒子数 $n_i$ 。

因此，整个多玻色子系统等价于一组独立的谐振子——每个谐振子对应一个单粒子态，其激发数给出占据数。

$|n_1, n_2, \ldots\rangle \longleftrightarrow |n_1\rangle_{\text{osc}_1} \otimes |n_2\rangle_{\text{osc}_2} \otimes \cdots$

这就是著名的占据数表象（occupation number representation）或Fock空间描述。

graph LR
    subgraph "玻色子系统"
        B1["粒子A在态φ₁"]
        B2["粒子B在态φ₁"]
        B3["粒子C在态φ₂"]
        B4["粒子D在态φ₃"]
    end
    
    subgraph "谐振子等价"
        H1["振子1: 激发数 n₁=2"]
        H2["振子2: 激发数 n₂=1"]
        H3["振子3: 激发数 n₃=1"]
    end
    
    B1 --> H1
    B2 --> H1
    B3 --> H2
    B4 --> H3

10.2 玻色子的发射与吸收：算符的物理意义

10.2.1 产生算符 = 粒子发射

在占据数表象中，谐振子的产生算符 $\hat{a}_i^\dagger$ 作用在多粒子态上，其物理意义是：向单粒子态 $\phi_i$ 发射一个玻色子。

$\hat{a}_i^\dagger |n_1, \ldots, n_i, \ldots\rangle = \sqrt{n_i + 1} |n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots\rangle$

因子 $\sqrt{n_i + 1}$ 来自玻色子的统计特性。这意味着：向一个已经有 $n_i$ 个玻色子的态再添加一个玻色子，振幅被增强 $\sqrt{n_i + 1}$ 倍。这就是玻色-爱因斯坦凝聚和激光现象的数学根源。

10.2.2 湮灭算符 = 粒子吸收

相应地，湮灭算符 $\hat{a}_i$ 的物理意义是：从单粒子态 $\phi_i$ 吸收一个玻色子。

$\hat{a}_i |n_1, \ldots, n_i, \ldots\rangle = \sqrt{n_i} |n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots\rangle$

当 $n_i = 0$ 时， $\hat{a}_i |\ldots, 0, \ldots\rangle = 0$ ，意味着真空态中没有粒子可以被吸收。

sequenceDiagram
    participant V as 真空 |0⟩
    participant A as 算符
    participant P1 as 单粒子态 |1⟩
    participant P2 as 双粒子态 |2⟩
    
    V->>A: a† 作用
    A->>P1: 产生一个粒子
振幅 √1
    P1->>A: a† 作用
    A->>P2: 再产生一个粒子
振幅 √2
    P2->>A: a 作用
    A->>P1: 吸收一个粒子
振幅 √2
    P1->>A: a 作用
    A->>V: 回到真空
振幅 √1

10.2.3 玻色子与谐振子：对易关系的深层含义

不同单粒子态对应的谐振子算符彼此对易：

$[\hat{a}_i, \hat{a}_j^\dagger] = \delta_{ij}, \quad [\hat{a}_i, \hat{a}_j] = 0, \quad [\hat{a}_i^\dagger, \hat{a}_j^\dagger] = 0$

这组对易关系编码了玻色子的全同性：交换两个玻色子不产生任何相位因子。如果尝试对费米子使用相同的对易关系，会得到矛盾的结果（例如一个态上可以有任意多个费米子），这暗示我们需要不同的代数结构——稍后我们会看到，费米子需要反对易关系。

10.3 应用于光子：电磁场的量子化

10.3.1 从经典场到量子场

电磁场在经典电动力学中由矢势 $\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)$ 描述，满足波动方程：

$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = 0$

将矢势展开为平面波模式：

\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega_k V}} \left[\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{k}\lambda} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega_k t)} + \text{h.c.}\right]

其中：

$\mathbf{k}$ 是波矢， $\omega_k = c|\mathbf{k}|$ 是频率
$\lambda = 1, 2$ 标记两个偏振方向
\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{k}\lambda} 是偏振单位矢量
$V$ 是归一化体积
h.c. 表示厄米共轭
$\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}$ 和 $\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger$ 就是光子模式的湮灭和产生算符

graph TD
    A["经典电磁场
连续的波"] --> B["模式分解
Fourier展开"]
    B --> C["每个模式=谐振子"]
    C --> D["量子化: a, a†"]
    D --> E["光子诞生!
离散的能量包 ℏω"]
    
    style E fill:#ff6b6b,stroke:#333

10.3.2 光子能量的量子化

每个模式 $(\mathbf{k}, \lambda)$ 对应一个谐振子，其哈密顿量为：

$H_{\mathbf{k}\lambda} = \hbar\omega_k \left(\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} + \frac{1}{2}\right)$

总哈密顿量是所有模式之和：

$H = \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \hbar\omega_k \left(\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} + \frac{1}{2}\right)$

算符 $\hat{n}_{\mathbf{k}\lambda} = \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}$ 给出模式 $(\mathbf{k}, \lambda)$ 中的光子数。每个光子的能量为：

$E_{\text{photon}} = \hbar\omega_k = \hbar c |\mathbf{k}|$

这正是爱因斯坦1905年提出的光量子假说！但在Dirac的形式主义中，光子不再是"被假设"的实体，而是从场的量子化中自然涌现的结果。

10.3.3 光子数态与相干态

光子数态（Fock态） $|n_{\mathbf{k}_1\lambda_1}, n_{\mathbf{k}_2\lambda_2}, \ldots\rangle$ 描述具有确定光子数的状态。然而，真实的激光源产生的不是光子数态，而是相干态 $|\alpha\rangle$ ，它是产生算符的本征态：

$\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle$

相干态中光子数服从泊松分布：

$P(n) = e^{-|\alpha|^2} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!}$

平均光子数为 $\bar{n} = |\alpha|^2$ ，标准差为 $\Delta n = |\alpha| = \sqrt{\bar{n}}$ 。相干态是量子化电磁场中最接近经典电磁波的态。

数值例题：激光腔中的光子数

题目：一个 He-Ne 激光器（波长 $\lambda = 632.8 \text{ nm}$ ）在谐振腔中工作，腔长 $L = 30 \text{ cm}$ ，输出功率 $P = 1 \text{ mW}$ 。计算：

(a) 谐振腔中单个模式的频率
(b) 每个光子的能量
© 若光子在腔中寿命 $\tau = 10^{-8} \text{ s}$ ，求腔中平均光子数
(d) 若相干态参数 $|\alpha|^2 = \bar{n}$ ，求光子数的标准差

解答：

(a) 谐振腔中的驻波模式：

$\nu = \frac{nc}{2L}$

取纵模序号 $n = 10^6$ （对应 $\lambda = 632.8 \text{ nm}$ ）：

$\nu = \frac{10^6 \times 3 \times 10^8}{2 \times 0.3} = 5 \times 10^{14} \text{ Hz}$

(b) 单个光子能量：

$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{632.8 \times 10^{-9}} = 3.14 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.96 \text{ eV}$

$U = 10^{-3} \times 10^{-8} = 10^{-11} \text{ J}$

平均光子数：

$\bar{n} = \frac{U}{E} = \frac{10^{-11}}{3.14 \times 10^{-19}} = 3.2 \times 10^7$

大约三千万个光子！这是相干态的典型特征——大量光子以确定的相位关系集体振荡。

(d) 相干态的标准差：

$\Delta n = \sqrt{\bar{n}} = \sqrt{3.2 \times 10^7} \approx 5657$

相对涨落：

$\frac{\Delta n}{\bar{n}} = \frac{1}{\sqrt{\bar{n}}} = \frac{1}{5657} \approx 1.8 \times 10^{-4}$

这解释了为什么激光如此稳定——尽管光子数有量子涨落，但对于宏观光子数，相对涨落极小。

graph LR
    subgraph "光子态的类型"
        F["Fock态 |n⟩
确定光子数
Δn=0"]
        C["相干态 |α⟩
泊松分布
Δn=√n̄"]
        T["热态
玻尔兹曼分布
Δn > √n̄"]
    end
    
    F --> |"激光激发"| C
    C --> |"热平衡"| T

10.4 光子与原子的相互作用

10.4.1 最小耦合与相互作用哈密顿量

带电粒子与电磁场相互作用的最小耦合原理将动量替换为：

$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p} - q\mathbf{A}$

对于电子（电荷 $-e$ ），相互作用哈密顿量展开为：

$H_{\text{int}} = \frac{e}{m}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} + \frac{e^2}{2m}\mathbf{A}^2$

在大多数原子物理问题中， $\mathbf{A}^2$ 项可以忽略（弱场近似），主要考虑：

$H_{\text{int}} \approx \frac{e}{m}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}$

将 $\mathbf{A}$ 用量子化形式代入：

H_{\text{int}} = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \frac{e}{m}\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega_k V}} \left[\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{k}\lambda}\cdot\mathbf{p} + \hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{k}\lambda}\cdot\mathbf{p}\right]

10.4.2 吸收与发射的物理图像

这个表达式揭示了光子与物质相互作用的基本过程：

吸收（ $\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}$ 项）：湮灭一个光子，原子从低能态跃迁到高能态
发射（ $\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda}^\dagger$ 项）：产生一个光子，原子从高能态跃迁到低能态

在长波近似下（光子波长远大于原子尺寸， $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \approx 1$ ），这退化为电偶极近似。

graph TD
    subgraph "光子-原子相互作用"
        A1["原子基态 |g⟩"]
        A2["原子激发态 |e⟩"]
        P["光子模式 (k,λ)"]
    end
    
    A1 -->|"#quot;吸收
aₖλ"|n⟩→|n-1⟩
ΔE=ℏω"| A2
    A2 -->|"#quot;受激发射
a†ₖλ"|n⟩→|n+1⟩
ΔE=-ℏω"| A1
    A2 -->|"#quot;自发发射
a†ₖλ"|0⟩→|1⟩
真空涨落驱动"| A1

10.4.3 自发发射的量子解释

经典电动力学无法解释激发态原子为何自发辐射。在Dirac的量子理论中，自发发射的本质是真空涨落——即使光子数为零，产生算符 $\hat{a}^\dagger$ 在真空态上的矩阵元也不为零：

$\langle 1|\hat{a}^\dagger|0\rangle = 1$

真空不是一个"空无一物"的状态，而是充满了量子涨落的舞台。自发发射速率可以通过费米黄金规则计算：

$\Gamma_{\text{spont}} = \frac{\omega^3 |\mathbf{d}|^2}{3\pi\varepsilon_0 \hbar c^3}$

其中 $\mathbf{d} = -e\langle e|\mathbf{r}|g\rangle$ 是跃迁电偶极矩。这个公式完美地解释了爱因斯坦的 $A$ 系数。

数值例题：氢原子2p→1s的自发发射

题目：计算氢原子从 $2p$ 态到 $1s$ 态的自发发射速率和寿命。

已知：

氢原子 $2p \rightarrow 1s$ 跃迁波长 $\lambda = 121.6 \text{ nm}$ （Lyman-α线）
电偶极矩矩阵元： $|\langle 1s|r|2p\rangle| \approx 0.74 a_0$ ，其中 $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \text{ m}$

解答：

角频率：

$\omega = \frac{2\pi c}{\lambda} = \frac{2\pi \times 3 \times 10^8}{121.6 \times 10^{-9}} = 1.55 \times 10^{16} \text{ rad/s}$

电偶极矩：

d = e \times 0.74 \times 0.529 \times 10^{-10} = 6.26 \times 10^{-30} \text{ C·m} = 3.73 \times 10^{-9} \text{ e·cm}

自发发射速率：

$\Gamma = \frac{\omega^3 d^2}{3\pi\varepsilon_0 \hbar c^3}$

代入数值：

$\Gamma = \frac{(1.55 \times 10^{16})^3 \times (6.26 \times 10^{-30})^2}{3\pi \times 8.854 \times 10^{-12} \times 1.055 \times 10^{-34} \times (3 \times 10^8)^3}$

$\Gamma = \frac{3.72 \times 10^{48} \times 3.92 \times 10^{-59}}{2.66 \times 10^{-25}} = \frac{1.46 \times 10^{-10}}{2.66 \times 10^{-25}}$

$\Gamma \approx 5.5 \times 10^{14} \text{ s}^{-1} \text{ ???}$

让我重新检查。实际上，这个数值太大。让我用更精确的公式：

氢原子 $2p \rightarrow 1s$ 的精确自发发射速率是：

$\Gamma = \frac{4\alpha \omega^3}{3c^2} |\langle 1s|\mathbf{r}|2p\rangle|^2$

其中 $\alpha = 1/137$ 是精细结构常数。

$\Gamma = \frac{4}{3} \times \frac{1}{137} \times \frac{(1.55 \times 10^{16})^3}{(3 \times 10^8)^2} \times (0.74 \times 0.529 \times 10^{-10})^2$

$\Gamma = \frac{4}{3} \times 7.30 \times 10^{-3} \times \frac{3.72 \times 10^{48}}{9 \times 10^{16}} \times 1.53 \times 10^{-21}$

$\Gamma = 9.73 \times 10^{-3} \times 4.13 \times 10^{31} \times 1.53 \times 10^{-21}$

$\Gamma \approx 6.1 \times 10^{8} \text{ s}^{-1}$

寿命：

$\tau = \frac{1}{\Gamma} = 1.6 \times 10^{-9} \text{ s} = 1.6 \text{ ns}$

这与实验值（约1.6 ns）吻合得很好。自发发射不是原子"想要"辐射，而是真空量子涨落驱动的必然结果。

10.5 辐射的散射：康普顿效应与汤姆逊散射

10.5.1 二阶过程与散射

当一阶相互作用（ $\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}$ 项）不导致直接跃迁（例如初态和末态能量不匹配），过程需要通过二阶微扰进行。这对应于散射——光子被吸收后再发射。

散射振幅包含两个贡献：

先吸收原初光子，再发射末态光子
先发射末态光子，再吸收原初光子

$M_{fi} \propto \sum_n \left[\frac{\langle f|\hat{a}_{\mathbf{k}'\lambda'}^\dagger \mathbf{p}|n\rangle\langle n|\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} \mathbf{p}|i\rangle}{E_i - E_n + \hbar\omega_k} + \frac{\langle f|\hat{a}_{\mathbf{k}\lambda} \mathbf{p}|n\rangle\langle n|\hat{a}_{\mathbf{k}'\lambda'}^\dagger \mathbf{p}|i\rangle}{E_i - E_n - \hbar\omega_{k'}}\right]$

10.5.2 康普顿波长与散射截面

在高能极限下（光子能量远大于原子束缚能），散射过程由电子的自由行为主导。这导致著名的康普顿散射公式，光子波长变化：

$\Delta\lambda = \lambda_C (1 - \cos\theta)$

其中 $\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2.43 \times 10^{-12}$ m 是电子的康普顿波长， $\theta$ 是散射角。

在低能极限下（ $\hbar\omega \ll m_e c^2$ ），退化为汤姆逊散射，截面为：

$\sigma_T = \frac{8\pi}{3} r_e^2 \approx 6.65 \times 10^{-29}\text{ m}^2$

其中 $r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e c^2} \approx 2.82 \times 10^{-15}$ m 是经典电子半径。

数值例题：康普顿散射的能量转移

题目：一个波长 $\lambda = 0.1 \text{ nm}$ 的X射线光子（硬X射线）与一个静止的自由电子发生康普顿散射，散射角 \theta = 90°。计算：

解答：

(a) 康普顿波长偏移：

$\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0) = 2.43 \times 10^{-12} \text{ m}$

散射后波长：

$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 0.1 \times 10^{-9} + 2.43 \times 10^{-12} = 1.0243 \times 10^{-10} \text{ m}$

$\lambda' = 0.10243 \text{ nm}$

波长变化率： $\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = 2.43\%$ ——对于硬X射线，康普顿效应已经很明显。

(b) 散射后光子能量：

$E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.0243 \times 10^{-10}} = 1.94 \times 10^{-15} \text{ J} = 12.1 \text{ keV}$

原光子能量：

$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.1 \times 10^{-9}} = 1.99 \times 10^{-15} \text{ J} = 12.4 \text{ keV}$

$K_e = E - E' = 12.4 - 12.1 = 0.3 \text{ keV}$

(d) 能量守恒验证：

$E + m_e c^2 = E' + \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}$

电子动量（由动量守恒，与光子动量变化大小相等）：

p_e = \sqrt{(\hbar k)^2 + (\hbar k')^2} = \frac{h}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}}

$p_e = 1.055 \times 10^{-34} \times \sqrt{\frac{1}{(10^{-10})^2} + \frac{1}{(1.0243 \times 10^{-10})^2}}$

p_e = 1.055 \times 10^{-34} \times 1.40 \times 10^{10} = 1.48 \times 10^{-24} \text{ kg·m/s}

电子总能量：

$E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = \sqrt{(1.48 \times 10^{-24} \times 3 \times 10^8)^2 + (511 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19})^2}$

$E_e = \sqrt{(4.44 \times 10^{-16})^2 + (8.18 \times 10^{-14})^2} = \sqrt{1.97 \times 10^{-31} + 6.69 \times 10^{-27}}$

$E_e \approx 8.18 \times 10^{-14} \text{ J} = 511.3 \text{ keV}$

$E_e - m_e c^2 = 511.3 - 511.0 = 0.3 \text{ keV} = K_e \checkmark$

graph LR
    subgraph "光子散射"
        I["入射光子
(k,λ)"]
        E["电子(原子)"]
        O["出射光子
(k',λ')"]
    end
    
    I --> E
    E -->|"汤姆逊散射
ℏω << m_ec²"| O
    E -->|"康普顿散射
ℏω ~ m_ec²"| O
    E -->|"瑞利散射
ℏω << 能级差"| O

10.6 费米子集合：走向反对易代数

10.6.1 为什么费米子不同？

泡利不相容原理禁止两个费米子占据相同的量子态。在占据数表象中，这意味着每个单粒子态的占据数只能是 $n_i = 0$ 或 $1$ 。如果用谐振子的对易关系 $[a_i, a_i^\dagger] = 1$ 描述费米子，会得到 $n_i$ 可以任意大的矛盾结果。

Dirac（以及 Jordan 和 Wigner）发现，费米子需要用反对易关系描述：

$\{\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger\} = \delta_{ij}, \quad \{\hat{b}_i, \hat{b}_j\} = 0, \quad \{\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger\} = 0$

其中反对易子定义为 $\{A, B\} = AB + BA$ 。

10.6.2 泡利原理的自动实现

从反对易关系可以推导：

$(\hat{b}_i^\dagger)^2 = 0$

这意味着连续两次产生费米子到同一态的结果为零——即泡利不相容原理自动满足！同时：

$\hat{b}_i^\dagger \hat{b}_i |n_i\rangle = n_i |n_i\rangle, \quad n_i \in \{0, 1\}$

占据数算符 $\hat{n}_i = \hat{b}_i^\dagger \hat{b}_i$ 的本征值只能是 0 或 1。

graph TD
    A["全同粒子交换"] --> B{"交换对称性?"}
    B -->|"对称
+1相位"| C["玻色子
[a,a†]=1
nᵢ=0,1,2,..."]
    B -->|"反对称
-1相位"| D["费米子
{b,b†}=1
nᵢ=0,1"]
    C --> E["谐振子等价"]
    D --> F["无谐振子等价
需要反对易代数"]
    
    style C fill:#4ecdc4
    style D fill:#ff6b6b

10.6.3 费米子的产生与湮灭

费米子产生算符的作用：

$\hat{b}_i^\dagger |n_1, \ldots, 0_i, \ldots\rangle = (-1)^{\sum_{j<i} n_j} |n_1, \ldots, 1_i, \ldots\rangle$

$\hat{b}_i^\dagger |n_1, \ldots, 1_i, \ldots\rangle = 0$

湮灭算符：

$\hat{b}_i |n_1, \ldots, 1_i, \ldots\rangle = (-1)^{\sum_{j<i} n_j} |n_1, \ldots, 0_i, \ldots\rangle$

$\hat{b}_i |n_1, \ldots, 0_i, \ldots\rangle = 0$

注意相位因子 $(-1)^{\sum_{j<i} n_j}$ ——交换两个费米子会引入负号，这正是反对称波函数的要求。

10.7 狄拉克的历史地位：二次量子化与量子场论的黎明

10.7.1 从单粒子到多粒子：算符语言的统一

在Dirac之前，量子力学主要处理单粒子问题。即使是多粒子系统，也只是在构型空间中求解高维薛定谔方程。这种方法在处理粒子数变化的过程（如光子发射和吸收）时显得笨拙且不自然。

Dirac在1927年的辐射理论论文中，首次系统性地引入了产生算符和湮灭算符，将粒子数可变的过程纳入统一的算符框架。这一创新不仅解决了光子量子化的具体问题，更开创了描述任意数量粒子的全新范式。

10.7.2 Jordan-Wigner 变换与费米子量子化

1928年，Pascual Jordan 和 Eugene Wigner 将Dirac的二次量子化思想推广到费米子。他们发现，费米子不能用对易关系，而必须用反对易关系。这一发现的重要性怎么强调都不过分：

它证明了二次量子化框架的普适性——玻色子和费米子都可以用产生/湮灭算符描述，只是代数关系不同
它为后来的量子场论奠定了基础：所有基本粒子都是场的激发
它催生了固体物理中的准粒子概念：声子、激子、磁振子等都可以用玻色子算符描述

10.7.3 从Dirac到Feynman：费曼图的诞生

Dirac的辐射理论为后来的量子电动力学（QED）提供了原始的算符框架。但Dirac本人并没有发展出系统的微扰计算方法。这一突破归功于Feynman、Schwinger和Tomonaga。

Feynman在1940年代将Dirac的算符语言翻译为直观的费曼图：

实线代表电子/正电子
波浪线代表光子
顶点代表 $e\gamma^\mu$ 相互作用

费曼图不是简单的图示，而是精确的数学公式——每个图对应一个特定的积分表达式。这套方法使得计算复杂的散射过程成为可能，最终给出了人类历史上最精确的理论预言。

10.7.4 二次量子化在现代物理中的无处不在

今天，二次量子化已经渗透到物理学的每一个角落：

领域	应用
量子场论	所有基本粒子的产生和湮灭
凝聚态物理	声子、电子准粒子、超导BCS理论
量子光学	光子态、压缩态、纠缠态
量子信息	量子比特的操控、量子纠错
核物理	核壳模型、集体激发
冷原子物理	玻色-爱因斯坦凝聚、费米气体

Dirac在1927年写下的那些对易关系，已经成为现代物理学的通用语言。

10.8 本章总结：从振动到粒子，从粒子到场

graph TD
    A["Dirac辐射理论
量子化的黎明"] --> B["玻色子 ↔ 谐振子"]
    A --> C["费米子 ↔ 反对易代数"]
    
    B --> D["光子=电磁场的量子
E=ℏω, p=ℏk"]
    B --> E["产生/湮灭算符
a†发射, a吸收"]
    B --> F["自发发射=真空涨落"]
    
    C --> G["泡利不相容原理
自动满足"]
    C --> H["费米海与空穴理论
→ 正电子!"]
    
    D --> I["量子电动力学
第XII章"]
    H --> J["相对论电子
第XI章"]
    
    style A fill:#ffd93d,stroke:#333

Dirac在这一章完成了物理学史上一次最深刻的概念统一。他将粒子视为场的激发，将多粒子系统映射为谐振子集合，从而建立了一个可以用统一的算符语言描述任意数量粒子的框架。光子不再是孤立的"粒子"，而是电磁场模式的量子化振动；玻色子的统计性质自然地编码在谐振子的对易关系中，而费米子的泡利原理则通过反对易关系自动实现。

这一理论框架——现在被称为二次量子化——是通往量子场论的必由之路。下一章，我们将看到Dirac如何将这一思想推向极致：如果电子也有对应的"场"，那么当这个场被量子化时，会诞生什么样的新物理？答案是：反物质。

练习与思考

谐振子的等价性证明：证明对于三个玻色子，对称化态 $|2, 1\rangle$ （两个粒子在态 $\phi_1$ ，一个在态 $\phi_2$ ）与两个谐振子的激发态 $|2\rangle_1 \otimes |1\rangle_2$ 的归一化系数一致。计算两者的归一化常数并比较。
自发发射与受激发射：利用费米黄金规则，证明在热平衡中自发发射与受激发射的关系满足爱因斯坦系数关系 $B_{21}\rho(\omega) = A_{21} + B_{21}\rho(\omega)$ ，其中 $\rho(\omega)$ 是辐射场的能量密度。从量子算符的角度解释为什么 $B_{21} = B_{12}$ 。
费米子交换相位：考虑两个费米子分别处于态 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 。用产生算符写出这个态 $\hat{b}_1^\dagger \hat{b}_2^\dagger |0\rangle$ ，然后交换两个粒子证明 $\hat{b}_2^\dagger \hat{b}_1^\dagger |0\rangle = -\hat{b}_1^\dagger \hat{b}_2^\dagger |0\rangle$ 。这一结果与泡利原理有何联系？

"The quantum theory of emission and absorption of radiation is the most beautiful chapter in the whole of quantum mechanics." — Paul Dirac

第十章 辐射理论：光子的诞生